総則
複素範囲の解は，実数解を含む．
(次数) > (解の個数) ならば，重解が存在する．
式変形
割り算
合同式を使ってもよい．
共テの多項式の問題で「割り切れるので」とあれば，普通に割り算を行う．
絶対値
- 2乗してみる
- 1. が厳しそうなら場合分け
- 共テの場合は特異点の \(x\) 座標と傾きだけで答えを出せることもある．
不等式の作成
文字2つ，等式1つ，不等式1つが存在する場合，各文字の不等式を作成可能．
\(a^n-b^n\)
最頻出．
| \[a^n-b^n=(a-b)\sum_{i=0}^{n-1} a^{(n-1)-i}b^{i}\] |
基本対称式
対称式に使う．
実数存在条件に注意．
| \[\begin{align} &x+y=s,\quad xy=t\quad(\in\mathbb{R})\\\\ \Longleftrightarrow\quad &X^2-sX+t=0,\quad X=x,\,y\quad(\in\mathbb{R})\\\\ \Longrightarrow\quad &s^2-4t\ge 0 \end{align}\] |
対称式の公式
| \[\begin{align} &x^n+y^n =(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2})\\\\ &x^2+y^2+z^2-3xyz =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\\ \end{align}\] |
交代式
交代式に使う．
| \[\begin{align} &x-y=s,\quad x(-y) =t\quad(\in\mathbb{R})\\\\ \Longleftrightarrow\quad &X^2-sX+t=0,\quad X=x,\,-y\quad(\in\mathbb{R})\\\\ \Longrightarrow\quad &s^2-4t\ge 0 \end{align}\] |
相反方程式
\(x=0\) であること，\(x\in\mathbb{R}\) のときに \(t\) が制約をもつことに注意．
| \[\begin{align} &\sum_{i=0}^n a_i x^i=0,\quad a_i=a_{n-i}\quad(x\ne0)\\\\ \longrightarrow\quad&x+\frac{1}{x}=t\quad \bigl(|t|\ge2\quad\text{if}\quad x\in\mathbb{R}\bigr) \end{align}\] |
複2次式
無理やり2乗の差の形にする．
斉次式
変数の次数がすべて同じ場合に，変数を減らすために使う．
ワイエルシュトラス置換
三角関数と定数の式に使う．
| \[\begin{align} &\tan{\frac{\theta}{2}}=t\quad \biggl(-\frac{\tau}{2}<\theta<\frac{\tau}{2}\biggr)\\\\ \longrightarrow\quad&\cos{\theta}=\frac{1-t^2}{1+t^2}\,,\quad \sin{\theta}=\frac{2t}{1+t^2}\,,\quad \tan{\theta}=\frac{2t}{1-t^2} \end{align}\] |
平方根の有理化
以下のようにするとうまくいくことがある．
| \[\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b} +\underset{=d}{\underline{\sqrt{(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2+c}}}} =\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-d}{2\sqrt{ab}-c}\] |
整数
解の限定
最初に条件から解の候補を絞る．
対称性がある場合，自分で大小関係を設定して対称性を崩す．
※崩した対称性は，必ず最後に戻すこと．
因数分解
和を積の形にできないか調べる．
素数
素数\(p\)を整数\(a,\,b\)の積で表せれば，因数の候補は4種類に絞れる．
| \[ p=ab \quad\Leftrightarrow\quad (a,\,b)=(1,\,p)\,(p,\,1)\,(-1,\,-p)\,(-p,\,-1) \] |
合同式
指数・階乗を見つけたら使う．
\(\mod{3},\,\mod{4}\) が便利.
二項展開
定義や数学的帰納法を用いた証明をする場合が多い．
格子点の数
- 作図．
- \(x=k,\,y=k\) などと置いて格子点の数を確認．
- 級数を解く．
\(m,\,n\,(\in\mathbb{Z},\,m<n)\)に対し，\(m\) から \(n\) までの整数の個数は \(n-m+1\)．
数列・漸化式
王道
等比帰着型
最後に\(p_n\)を足しているか確認する．
| \[\begin{align} &a_{n+1}=ra_n+(p_{n+1}-rp_n)\\\\ \Leftrightarrow\quad &a_{n+1}-p_{n+1}=r(a_n-p_n)=r\,r^{n-1}(a_1-p_1)\\\\ \Leftrightarrow\quad &a_n=(a_1-p_1)r^{n-1}+p_n \end{align}\] |
階差帰着型
\(a_1\)の議論を行う．
| \[\begin{align} &a_{n+1}-a_n=b_n\\\\ \Rightarrow\quad &a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n \quad(n\ge2)\\\\ \Leftrightarrow\quad &a_n=f(n) \quad\begin{cases} a_1=f(1)\\\\ \text{ただし，}\;a_1=a \end{cases} \end{align}\] |
3項間漸化式
\(N\)項間の場合，これを自然に拡張する．
| \[\begin{align} &pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0 \quad(\rightarrow px^2+qx+r=0,\;x=\alpha,\,\beta)\\\\ \rightarrow\quad &\begin{cases} a_0=a_0\\\\ a_1=a_1 \end{cases} \quad\land\quad \begin{cases} a_n=s\alpha^n+t\beta^n\quad(\alpha\ne\beta)\\\\ a_n=(sn+t)\alpha^n\quad(\alpha=\beta)\\\\ \end{cases} \quad(s,\,t=Const.) \end{align}\] |
\(S_n\) が与えられた
\(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) を利用する．
2次式
| \[\begin{align} &{a_{n+1}}^2-p^2=q(a_n-p)\quad(a_n\ne\pm p)\\\\ \Leftrightarrow\quad &a_n-p=\frac{q}{a_{n-1}+p}(a_{n-1}-p) \end{align}\] |
母関数
テイラー展開
| \[ f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-a)^n}{n!}f(a) \] |
エクスポネンシャル
| \[ e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \] |
無限等比級数
| \[ \frac{1}{1-x} =\sum_{k=0}^\infty x^k\quad(|x|<1) \] |
コンビネーション
| \[ (1+x)^n =\sum_{k=0}^n {}_nC_kx^k \] |
重複組合せ
| \[ \biggl(\sum_{m=0}^{n} x^m\biggr)^n =\sum_{r=0}^n {}_nH_rx^r \] |
級数公式
冪乗和
| \[\begin{align} &\sum_{k=1}^{n} 1 =\;n & &\sum_{k=1}^{n} k =\frac{1}{2}n(n+1)\\\\ &\sum_{k=1}^{n} k^2 =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) & &\sum_{k=1}^{n} k^3 =\biggl(\frac{1}{2}n(n+1)\biggr)^2\\\\ \end{align}\] |
置換級数
| \[ \sum_{k=\alpha}^\beta f(k) =\sum_{k=\alpha-\gamma}^{\beta-\gamma} f(k+\gamma) \] |
等差級数
冪乗和の公式を使わない場合，
| \[ \sum_{k=\alpha}^\beta a_k=\frac{\beta-\alpha+1}{2}(a_\alpha+a_{\beta}) \] |
等比級数
\(k=0\) を初項にする．
| \[ a\sum_{k=0}^{n-1} r^{k} =a\cdot\frac{1-r^{n}}{1-r} \] |
群数列
- 第 \(n\) 郡を定義する
- 第 \(n\) 郡の項数を求める
- 第 \(n\) 郡の末項が全体の第何項であるかを求める
- 第 \(n\) 郡の末項の値を求める
差分和分
差分公式
| \[ \begin{align} &{\it\Delta}1=0& &{\it\Delta}x=1\\\\ &{\it\Delta}x^2=2x+1& &{\it\Delta}x^3=3x^2+3x+1\\\\ &{\it\Delta}a^x=(a-1)a^x& &{\it\Delta}x!=x\cdot x!\\\\ \end{align} \] |
部分和分
| \[ \sum_{k=\alpha}^{\beta} a_k b_k =[a_k B_k]_0^{\beta+1} -\sum_{k=\alpha}^{\beta} {\it\Delta}a_k\,B_{k+1} \] |
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