\(7^2\) 枚のタイル
一辺に \(n\) 枚（\(n\) は 3 以上の奇数）の正方形のタイルを並べた \(n×n\) の床から，無作為に 4 枚のタイルを選ぶ．
- 床全体の正方形の 2 本の対角線上のタイルから少なくとも 1 枚を選ぶ場合の数を \(W(n)\) とする．\(W(n)\) を \(n\) の整式で表せ．
- \(W(n)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n−1}}\{M(k,n)\}^2\) を満たす \(k\), \(n\) の整式 \(M(k,n)\) を求めよ．
- \(W(7)\) を素因数分解せよ．
解答
1. \(W(n)\) の導出
| \[\begin{align} &まず，正方形のタイル全体から 4 枚を選ぶ総数は\,{}_{n^2}C_4\,[通り]\,.\\\\ &次に，対角線上にない\,(n−1)^2\,[枚]\,のタイルから選ぶ場合の数は\,{}_{(n-1)^2}C_4\,[通り]\,.\\\\ &∴\,W(n)={}_{n^2}C_4−{}_{(n−1)^2}C_4\\\\ &ここで,\,x(x-1)(x-2)(x-3)=(x^2−3x+1)^2−1\,より,\,n^2=N,\,(n-1)^2=M\,として,&&\\\\ &\begin{aligned}∴\,W(n)&=\frac{1}{24}\{(N^2-3N+1)^2-(M^2-3M+1)^2\}\\\\ &=\frac{1}{24}\{(N^2-M^2)-3(N-M)\}\{N^2-3N+1+M^2-3M+1\}\\\\ &=\frac{1}{24}(2n-1)(2n^2-2n-2)\{(n^2-1)(n^2-2)+(n-1)^4-3(n-1)^2\}\\\\ &=\frac{1}{6}n(n-1)(2n-1)(n^2-n-1)^2\end{aligned}\end{align}\] |
2. 整式 \(M(k,n)\) の特定
| \[\begin{align}&\frac{1}{6}n(n-1)(2n-1)=\sum_{k=0}^{n−1}k^2\\\\ &∴\,W(n)=\sum_{k=0}^{n−1}\{k(n^2-n-1)\}^2=\sum_{k=0}^{n−1}\{M(k,n)\}^2\\\\ &∴\,M(k,n)=k(n^2-n-1)\end{align}\] |
3. \(W(7)\) の素因数分解
| \[W(7)=\frac{1}{6}\cdot 7\cdot 6\cdot 13\cdot 41^2=7\cdot 13\cdot 41^2\] |
制作者
