\(7^{77}\)
- \(7^3,\,7^4\) の値をそれぞれ求めよ．
- \(7^{77}\) の桁数を求めよ．
解答
1. \(7^3,\,7^4\)
| \(7^3=343,\,7^4=2401\) |
2. \(7^{77}\)
| \[\begin{align}&7^7=343×(3×8×10^2)+343=1.029×2^3×10^5+343\\\\ &∴\,1.02×2^3×10^5<7^7<10^6\\\\ &ここで，\,2^{10}>1.02×10^3\\\\ &∴\,(1.02)^{14}×8×10^{64}<7^{77}<10^{66}\\\\ &二項定理より,\,(1.02)^{14}>1+0.02×14>1.25\,であるから,\\\\ &10^{65}<7^{77}<10^{66}\qquad ∴\,66\,[桁]\,\cdots\,(答)\end{align}\] |
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