分野
場合の数
排反・独立
事象が排反な場合，明記しておいた方が良い．
試行が独立な場合，必要なら明記する．
階乗
順番が関係ある場合や，3種類以上の組み合わせに使う．
\[n!=\prod_{k=1}^n k\]
組み合わせ
順番が関係ない場合に使う．
| \[{}_nC_r=\frac{n!}{(n-r)!\,r!}\] |
コンビネーション公式
定義通り計算すれば出てくるが，覚えておいた方がいい．
| \[\begin{align}&\frac{{}_{n-1}C_{r-1}}{{}_nC_r} =\frac{(n-1)!}{(n-r)!(r-1)!}\frac{(n-r)!r!}{n!}=\frac{r}{n}\\\\ &{}_nC_r=\frac{n!}{(n-r)!r!}\frac{(n+1)-r}{(n+1)-r}={}_{n+1}C_r-{}_nC_{r-1}\\\\ &{}_nC_k\cdot{}_kC_r=\frac{n!}{(n-k)!k!}\frac{k!}{(k-r)!r!} =\frac{n!}{(n-k)!(n-r)!}\frac{(n-r)!}{(k-r)!r!}={}_nC_r\cdot{}_{n-r}C_{k-r}\end{align}\] |
重複組み合わせ・最短経路
\(n\)種類のものを\(r\)個，重複を許して並びかえる時に使う．
種類の切り替えは，\(n-1\)回だから，
| \[{}_{(n-1)+r}C_{n-1}={}_{n+r-1}C_{r}={}_nH_r\] |
換言
| 問 | 必要十分条件 |
|---|---|
| 試行 \(T_n\) で初めて事象 \(A\) が起こる | \(T_{n-1}\) で \(\overline{A}\) かつ \(T_n\) で \(A\) |
確率
聞かれている量に丸をつける．
条件が絞れたら，計算に必要な内容を具体的に書く．
独立な事象
確率変数 \(X,\,Y\) が互いに独立である必要十分条件は，
| \[P(X)P(Y)=P(XY)\lor E(X)E(Y)=E(XY)\lor V(X)+V(Y)=V(X+Y)\] |
場合分け
条件が異なるものは，最初に分離し，最後に満たすか確認．
複数
比較的特殊でない等，簡単な方の場合を求め，その他の場合に応用できないか考える．
確率漸化式
\(n\) 回の試行を行う場合に考える．
事象数が少ない場合，連立確率漸化式または座標でも解ける場合がある．
統計
| 意味 | 数式 |
|---|---|
| 確率変数 \(X\) が示す事象が起こる確率 | \[P(X)=p\] |
| 確率変数 \(X\) の平均 | \[E(X)=\overline{X}\] |
| 確率変数 \(X\) の分散 | \[V(X)=\overline{(X-m)^2} =\overline{X^2}-\overline{X}^2\] |
| 確率変数 \(X\) の標準偏差 | \[\sigma(X)=\sqrt{V}\] |
| 共分散 | \[S_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (x_k – \bar{x})(y_k – \bar{y})\] |
| 相関係数 | \[r = \frac{S_{xy}}{s_x s_y}\] |
| 確率変数 \(X\) の正規分布 | \[N\bigl(E,\;V\bigr)\] |
| 正規化確率変数 \(Z\) | \[Z=\frac{X-E}{\sigma}\] |
| 標準正規分布 | \[N(0,\;1)\] |
| 確率 \(p\) の試行を \(n\) 回行った時の二項分布 | \[B(p,\;n)\] |
| 二項分布の正規分布化 | \[N\bigl(np,\;np(1-p)\bigr)\] |
| 大きさ \(n\) の標本正規分布 | \[N\biggl(E,\;\frac{V}{n}\biggr)\] |
| 母比率 \(p\) の標本正規分布 | \[N\biggl(p,\;\frac{p(1-p)}{n}\biggr)\] |
| 信頼度95%の信頼区間（両側検定） | \[[Z-1.96\sigma,\;Z+1.96\sigma]\] |
| 有意水準5%の棄却域（片側検定，正） | \[[Z+1.64\sigma,\;\infty)\] |
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