分野
総則
複素範囲の解は，実数解を含む．
(次数) > (解の個数) ならば，重解が存在する．
式変形
割り算
合同式を使ってもよい．
共テの多項式の問題で「割り切れるので」とあれば，普通に割り算を行う．
絶対値
- 2乗してみる
- 1. が厳しそうなら場合分け
不等式の作成
文字2つ，等式1つ，不等式1つが存在する場合，各文字の不等式を作成可能．
(a^n-b^n)
最頻出．
\[a^n-b^n=(a-b)\sum_{i=0}^{n-1} a^{(n-1)-i}b^{i}\]
基本対称式
対称式に使う．
実数存在条件に注意．
\[\begin{align}
&x+y=s,\quad xy=t\quad(\in\mathbb{R})\\\\
\Longleftrightarrow\quad
&X^2-sX+t=0,\quad X=x,\,y\quad(\in\mathbb{R})\\\\
\Longrightarrow\quad
&s^2-4t\ge 0
\end{align}\]
対称式の公式
\[\begin{align}
&x^n+y^n
=(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2})\\\\
&x^2+y^2+z^2-3xyz
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\\
\end{align}\]
交代式
交代式に使う．
\[\begin{align}
&x-y=s,\quad x(-y)
=t\quad(\in\mathbb{R})\\\\
\Longleftrightarrow\quad
&X^2-sX+t=0,\quad X=x,\,-y\quad(\in\mathbb{R})\\\\
\Longrightarrow\quad
&s^2-4t\ge 0
\end{align}\]
相反方程式
\(x=0\) であること，\(x\in\mathbb{R}\) のときに \(t\) が制約をもつことに注意．
\[\begin{align}
&\sum_{i=0}^n a_i x^i=0,\quad a_i=a_{n-i}\quad(x\ne0)\\\\
\longrightarrow\quad&x+\frac{1}{x}=t\quad
\bigl(|t|\ge2\quad\text{if}\quad x\in\mathbb{R}\bigr)
\end{align}\]
複2次式
無理やり2乗の差の形にする．
斉次式
変数の次数がすべて同じ場合に，変数を減らすために使う．
ワイエルシュトラス置換
三角関数と定数の式に使う．
\[\begin{align}
&\tan{\frac{\theta}{2}}=t\quad
\biggl(-\frac{\tau}{2}<\theta<\frac{\tau}{2}\biggr)\\\\
\longrightarrow\quad&\cos{\theta}=\frac{1-t^2}{1+t^2}\,,\quad
\sin{\theta}=\frac{2t}{1+t^2}\,,\quad
\tan{\theta}=\frac{2t}{1-t^2}
\end{align}\]
整数
解の限定
最初に条件から解の候補を絞る．
対称性がある場合，自分で大小関係を設定して対称性を崩す．
※崩した対称性は，必ず最後に戻すこと．
因数分解
和を積の形にできないか調べる．
素数
素数\(p\)を整数\(a,\,b\)の積で表せれば，因数の候補は4種類に絞れる．
\[
p=ab
\quad\Leftrightarrow\quad
(a,\,b)=(1,\,p)\,(p,\,1)\,(-1,\,-p)\,(-p,\,-1)
\]
合同式
指数・階乗を見つけたら使う．
\(\mod{3},\,\mod{4}\) が便利.
二項展開
定義や数学的帰納法を用いた証明をする場合が多い．
格子点の数
- 作図．
- \(x=k,\,y=k\) などと置いて格子点の数を確認．
- 級数を解く．
\(m,\,n\,(\in\mathbb{Z},\,m<n)\)に対し，\(m\) から \(n\) までの整数の個数は \(n-m+1\)．
数列・漸化式
王道
等比帰着型
最後に\(p_n\)を足しているか確認する．
\[\begin{align}
&a_{n+1}=ra_n+(p_{n+1}-rp_n)\\\\
\Leftrightarrow\quad
&a_{n+1}-p_{n+1}=r(a_n-p_n)=r\,r^{n-1}(a_1-p_1)\\\\
\Leftrightarrow\quad
&a_n=(a_1-p_1)r^{n-1}+p_n
\end{align}\]
階差帰着型
\(a_1\)の議論を行う．
\[\begin{align}
&a_{n+1}-a_n=b_n\\\\
\Rightarrow\quad
&a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n \quad(n\ge2)\\\\
\Leftrightarrow\quad
&a_n=f(n)
\quad\begin{cases}
a_1=f(1)\\\\
\text{ただし，}\;a_1=a
\end{cases}
\end{align}\]
3項間漸化式
\(N\)項間の場合，これを自然に拡張する．
\[\begin{align}
&pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0
\quad(\rightarrow px^2+qx+r=0,\;x=\alpha,\,\beta)\\\\
\rightarrow\quad
&\begin{cases}
a_0=a_0\\\\
a_1=a_1
\end{cases}
\quad\land\quad
\begin{cases}
a_n=s\alpha^n+t\beta^n\quad(\alpha\ne\beta)\\\\
a_n=(sn+t)\alpha^n\quad(\alpha=\beta)\\\\
\end{cases}
\quad(s,\,t=Const.)
\end{align}\]
\(S_n\) が与えられた
\(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) を利用する．
2次式
\[\begin{align}
&{a_{n+1}}^2-p^2=q(a_n-p)\quad(a_n\ne\pm p)\\\\
\Leftrightarrow\quad
&a_n-p=\frac{q}{a_{n-1}+p}(a_{n-1}-p)
\end{align}\]
母関数
- テイラー展開
\[
f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-a)^n}{n!}f(a)
\] - エクスポネンシャル
\[
e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
\] - 無限等比級数
\[
\frac{1}{1-x}
=\sum_{k=0}^\infty x^k\quad(|x|<1)
\] - コンビネーション
\[
(1+x)^n
=\sum_{k=0}^n {}_nC_kx^k
\] - 重複組合せ
\[
\biggl(\sum_{m=0}^{\infty} x^m\biggr)^n
=\sum_{r=0}^\infty {}_nH_rx^r
\]
級数公式
冪乗和
\[\begin{align}
&\sum_{k=1}^{n} 1
=\;n
&
&\sum_{k=1}^{n} k
=\frac{1}{2}n(n+1)\\\\
&\sum_{k=1}^{n} k^2
=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)
&
&\sum_{k=1}^{n} k^3
=\biggl(\frac{1}{2}n(n+1)\biggr)^2\\\\
\end{align}\]
置換級数
\[
\sum_{k=\alpha}^\beta f(k)
=\sum_{k=\alpha-\gamma}^{\beta-\gamma} f(k+\gamma)
\]
等差級数
冪乗和の公式を使わない場合，
\[
\sum_{k=\alpha}^\beta a_k=\frac{\beta-\alpha+1}{2}(a_\alpha+a_{\beta})
\]
等比級数
\(k=0\) を初項にする．
\[
a\sum_{k=0}^{n-1} r^{k}
=a\cdot\frac{1-r^{n}}{1-r}
\]
群数列
- 第 \(n\) 郡を定義する
- 第 \(n\) 郡の項数を求める
- 第 \(n\) 郡の末項が全体の第何項であるかを求める
- 第 \(n\) 郡の末項の値を求める
差分和分
差分公式
\[
\begin{align}
&{\it\Delta}1=0& &{\it\Delta}x=1\\\\
&{\it\Delta}x^2=2x+1& &{\it\Delta}x^3=3x^2+3x+1\\\\
&{\it\Delta}a^x=(a-1)a^x& &{\it\Delta}x!=x\cdot x!\\\\
\end{align}
\]
部分和分
\[
\sum_{k=\alpha}^{\beta} a_k b_k
=[a_k B_k]_0^{\beta+1}
-\sum_{k=\alpha}^{\beta} {\it\Delta}a_k\,B_{k+1}
\]
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